Limites
Definição
Todo o nosso entendimento do Cálculo se apoia no conceito de limites.
Definimos o limite de uma função $f(x)$ como o número em que podemos tornar o valor da função o quão próximo quanto quisermos dele, sem necessariamente ela o assumir.
Podemos representar essa quantidade por meio da notação
e lemos assim: “O limite da função $f$ é igual a $L$, quando $x$ tende para $a$”.
Vale lembrar que estamos assumindo algumas coisas aqui, como o fato de $f$ ser uma função com domínio e contradomínio na reta dos números reais.
Épsilon-Delta
Conceitos como "tender", "aproximar", "proximidade" são abstratos o suficiente de forma que a definição intuitiva não possa ser classificada como uma definição matemática de fato. Dessa forma, a definição épsilon-delta de limites, também conhecida por definição formal de limites cumpre o requisito de ser rigorosa.
Limites laterais
Os limites laterais são uma especificidade que nasce da noção de aproximação entre $x$ e $a$.
Como estamos tratando de uma reta real, podemos aproximar os dois números com $x>a$, assumindo valores cada vez menores — e mais próximos da nossa constante —, ou obedecendo à restrição de que $x < a$, em que a variável irá assumir valores cada vez maiores.
O primeiro caso é chamado de limite a direita, enquanto o segundo é chamado de limite a esquerda. Seus nomes vêm das seções da reta real que $x$ percorre quando se aproxima de $a$.
Em questão de notação, denotamos, respectivamente:
Perceba os sinais de adição e subtração sob o $\lim$: eles nos indicam a direção do limite lateral — números “maiores” e “menores”.
Esses limites nos são úteis por um teorema que estabelece que a existência (e igualdade) de ambos os limites laterais implica na existência do limite padrão, ou seja
Propriedades
Como dito anteriormente, as propriedades de limites nos serão muito úteis para calculá-los sem a necessidade de gráficos ou tediantes aproximações numéricas. Aqui estão reunidas todas, ou pelo menos as mais importantes, em ordem crescente de complexidade.
Limite de uma constante
Se tivermos em mãos uma função constante $f(x)=C, \forall{x} \in \mathbb{R}$, saberemos que seu limite é $C$ para todo par $x, a \in \mathbb{R}$ escolhido, ou seja:
Ainda, de forma mais sucinta, podemos dizer que “o limite de uma constante é a própria constante” — é bem intuitivo, já que a função não muda para qualquer valor escolhido.
Limite da soma e da diferença
Dadas duas funções $f(x)$ e $g(x)$, ambas possuindo seus respectivos limites num dado número $a$ — o que também assumiremos para as próximas seções —, isto é:
Temos que o limite de sua soma é a soma dos seus limites, assim, podemos escrever
De forma análoga, podemos escrever que o limite de sua diferença é a diferença de seus limites:
Limite de um produto
O limite do produto de duas funções é o produto de seus limites.
Se assumirmos uma das funções como constante, teremos que
e ainda podemos dizer que o limite de uma potência é a potência do seu limite:
Limite de um quociente
O limite da razão entre $f$ e $g$ é o quociente entre os limites de cada uma, ou seja:
Claro, para isso precisamos que $g(x), L_2 \neq 0$.
Limite de um polinômio
Essa, provavelmente, é uma das propriedades mais úteis de toda essa lista, sendo construída a partir das anteriores de forma elegante — tente demonstrar ela no papel aplicando as propriedades de limite da soma, limite de potência e limite de uma constante nos termos do polinômio e simplificando.
Temos que o limite de um polinômio $p(x)$ num dado número $a$ é o mesmo que calcular $p(a)$.
Limite de uma função racional
Por fim, se $f$ e $g$ forem polinômios e $F$ for uma função racional, isto é, uma função formada pela razão entre os dois polinômios dados,
podemos concluir, pelas propriedades de limite de um polinômio e limite de um quociente, que
Se possível, tente provar essa propriedade também! É interessante ver como tudo se encaixa.
Indeterminações
Muitas vezes, ao tentarmos calcular o limite de uma dada expressão, caímos em indeterminações dos mais variados tipos, como $\dfrac{0}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$ — isso não significa a sua inexistência, mas sim que tentarmos avaliar esse limite diretamente não nos fornecerá uma resposta clara.
Para isso, precisamos levantar a indeterminação, com a maneira mais comum de fazer isso sendo a reescrita da expressão a ser avaliada de outra forma.
Por exemplo, vamos analisar o seguinte limite:
Se substituirmos diretamente, veremos que $(-2)^3+8=-2+2=0$, ou seja, caímos numa determinação do tipo $\dfrac{0}{0}$.
Procurando reescrever a função racional dada de outra maneira, podemos perceber que o numerador é uma soma de cubos, que pode ser simplificada da seguinte maneira:
Assim, aplicando essa propriedade na nossa função original, podemos ver que,
o que nos leva a nossa conclusão final, de que os limites são equivalentes.
Transformamos a nossa função racional impossível em um simples polinônimo do segundo grau e finalmente, encontramos seu limite pela propriedade da substituição direta.
Haverão funções que não serão tão simples de serem reescritas, mas toda a álgebra está ao seu lado, desde a simplificação por produtos e somas notáveis até a multiplicação pelo conjugado — muito útil em funções racionais como a que acabamos de lidar.
Dispositivo de Briot-Ruffini
O dispositivo de Briot-Ruffini, conhecido também por Regra de Ruffini, é um método matemático utilizado para calcular a divisão de um polinômio $P(x)$ por um binômio $Q(x)=x-r$, com $r$ sendo uma constante dos reais.
O algoritmo foi descrito de forma excelente aqui, explicação que será reproduzida abaixo.
Primeiro, monte uma tabela com duas linhas verticais cruzadas por uma linha horizontal. Escreva os coeficientes de $P(x)$ em ordem decrescente na seção média com exceção do termo independente, que deve ser colocado na seção superior direita. Escreva $r$ na seção superior esquerda, um pouco abaixo dos coeficientes do polinômio dividendo.
Depois, desça o maior coeficiente, $a_n$, e multiplique por $r$, escrevendo esse resultado sob o próximo coeficiente de $P(x)$.
Some $a_{n-1}$ com o termo recém calculado e escreva-o na parte inferior da linha.
Por fim, repita o processo de descer um coeficiente, multiplicar por $r$, somar com o coeficiente sucessor e escrever o resultado na linha inferior até que não sobrem mais números.
Vê a linha inferior? São os coeficientes do polinômio quociente, $R(x)$, que será um grau menor que o polinômio original, $P(x)$; o último termo, $s$, é o resto da divisão, assegurado pelo teorema do resto que é o valor de $P(r)$, ou seja, o valor do polinômio quando $x=r$.
Esses últimos fatos nos serão muito úteis para a sua aplicação — o verdadeiro motivo desse dispositivo estar incluído aqui — em fatorar polinômios quando conhecemos uma de suas raízes.
Fatorando polinômios com Briot-Ruffini
Quando assumimos que $r$ é uma raíz de $P(x)$, já podemos saber de antemão que $s=0$, assim, podemos reescrever
com $Q(x)$ sendo nosso polinômio quociente e $(x-r)$ nosso binômio divisor.
Vamos a um exemplo? Vamos tentar fatorar o seguinte polinômio:
Analisando-o, podemos perceber que $x=-1$ é uma das raízes desse polinômio. Aplicando Briot-Ruffini, podemos ver que:
Assim, podemos ver que o polinômio quociente é $Q(x)=4x^4-4x^3-6x^2+7x-7$ e por fim concluímos que
Quando encontrarmos alguma indeterminação, temos mais uma arma para utilizar e tentar levantar a aparentemente impossibilidade de encontrar um limite.
Teorema do confronto
Também conhecido pelo nome — bem mais descritivo — de teorema do sanduíche, o teorema do confronto é uma ferramenta muito útil na determinação de limites de algumas funções de comportamento mais errático.
(Prof. Dr. José Carlos de Lima, UFAL) Dado um número real $a$, seja $I$ um intervalo aberto tal que $a \in I$. Sejam $f, g$ e $h$ funções reais definidas no intervalo aberto $I$ tais que
para todo $x \in I$, exceto, possivelmente, em $x=a$. Nessas condições, se
então $\lim_{x \rightarrow a} f(x)=L$.
Assíntotas e limites no infinito
As assíntotas são definidas como curvas que se aproximam de uma dada reta mas nunca a tocam. Importantes como uma outra lente para a análise de funções e uma ferramenta para a montagem de gráficos, as assíntotas podem ser de três tipos: verticais, horizontais e oblíquas.
Além disso, nessa seção, veremos os limites no infinito conjuntamente com as assíntotas horizontais.
Assíntotas verticais
As assíntotas verticais são retas que cruzam perpendicularmente o eixo das abcissas, o cruzando num único ponto. Por isso, são denotadas pela equação $x=c$, com $c \in \mathbb{R}$.
Essas retas em relação às nossas funções possuem o comportamento de formarem “barreiras” em suas imagens — seus valores explodem para $\pm \infty$ quando seu valor de entrada se aproxima de $c$.
De fato, uma reta é considerada assíntota vertical em relação a uma função $f$ caso alguma das condições abaixo aconteça:
Por exemplo, a função $f(x)=\dfrac{2}{x}$ possui como assíntota vertical a reta $x=0$.
Perceba que a função explode para o infinito positivo pela direita e para o infinito negativo pela esquerda!
Assíntotas horizontais
As assíntotas horizontais são retas que cruzam perpendicularmente o eixo das ordenadas, paralelas ao eixo das abcissas. De forma similar às verticais, são denotadas por equações da forma $y=c$, com $c \in \mathbb{R}$.
Elas também formam “barreiras” em relação às nossas funções, porém não mais “paredes”, e sim “tetos”. Essa noção nos conduzirá ao conceito de limites no infinito.
Podemos definir uma função $f: I \rightarrow \mathbb{R}$, com $I=(a, \pm \infty)$. Se ao tornarmos $|x|$ arbitrariamente grande o valor da função se aproxima cada vez mais de um $L \in \mathbb{R}$, dizemos que $L$ é seu limite quando tornamos a entrada da função suficientemente grande em alguma das direções da reta real.
Matematicamente, podemos escrever:
De forma geral, uma estratégia muito útil para calcular limites no infinito de uma determinada função, particularmente funções polinomiais, é dividir cada um de seus termos pelo monômio de maior grau. Como exemplo, podemos ver o cálculo do limite infinito abaixo.
Perceba que um limite aparentemente complexo torna-se relativamente simples ao reescrever uma função de forma que o máximo de termos tenda a zero quando $x$ torna-se arbitrariamente grande.
Agora, e para o cálculo de limites com indeterminações da forma $\infty - \infty$, como podemos proceder? Uma estratégia possível é a combinação do rearranjamento algébrico com a aplicação da Regra de L'Hôpital.
Por consequẽncia, e finalizando o motivo da abertura desse adendo sobre limites no infinito, a reta $y=L$ é chamada assíntota horizontal da função $f$.
Por exemplo, ao analisarmos a função dada anteriormente, $f(x) = \dfrac{2}{x}$, podemos ver que ao aumentarmos o valor de $x$ na direção do infinito positivo, o valor da função se torna cada vez mais próximo de 0. O mesmo acontece na direção oposta.
Por isso, podemos escrever:
Assíntotas oblíquas
Chamamos “assíntotas oblíquas” as assíntotas cuja equação reduzida possui ambos os coeficientes (linear e angular) não nulos.
Uma função possui assíntota oblíqua se for racional — ou seja, no formato $f(x)= \dfrac{g(x)}{h(x)}$, com $g(x)$ e $h(x)\neq0$ polinômiosa —, e se $\text{Grau(g(x))} = \text{Grau(h(x))} +1$ .
A equação da assíntota é o quociente da divisão entre os dois polinômios da função racional.
Como exemplo, podemos citar a função $f(x)= \dfrac{x^2 - 9}{2x -4}$. Efetuando a divisão, chegamos no quociente $Q(x)=\dfrac{1}{2}x + 1$. De fato, esta equação produz a assíntota oblíqua dessa função, como visto no gráfico abaixo.
Em verde, temos a função racional original. Em cinza, a reta produzida pela equação encontrada. Perceba que ela é a assíntota oblíqua da função.
Apêndice I — Continuidade
Quando estudamos matemática, normalmente temos uma noção do significado de expressões como contínua, descontínua ou discreta quando nos referimos a funções. Geralmente, definimos uma função contínua como aquela que “podemos desenhar sem tirar o lápis do papel”, com a descontínua possuindo alguma falha que interrompe o gráfico da função, enquanto a discreta é formada apenas de pontos isolados, sem realmente nenhuma curva sem formada.
É interessante definirmos esses conceitos de maneira mais precisa, no estudo do Cálculo, por sua tremenda utilidade nesse campo da matemática e consequentemente em muitos outros, como probabilidade. Uma das ferramentas para fazermos isso são os limites.
Definição
Dessa forma, podemos definir continuidade da seguinte maneira:
(Prof. Dr. José Carlos de Lima, UFAL) Dizemos que uma função $f$ é contínua em um número $a$ se, e somente se, ocorrer que $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)$. Se $f$ não é contínua em $a$, dizemos simplesmente que ela é descontínua em $a$.
As definições de continuidade à direita e continuidade à esquerda podem ser extraídas dessa definição primordial pela mudança do limite padrão pelo limite lateral correspondente.
Continuidade num intervalo
Podemos ainda expandir o conceito de continuidade exposto acima, que se preocupa apenas com a função num dado número, para que abranja todo um intervalo.
(Prof. Dr. José Carlos de Lima, UFAL) Uma função é dita contínua em um intervalo $I$ se ela é contínua para cada número $a$ desse intervalo, ou seja, para cada $a \in I$, teremos que $\lim_{x \rightarrow a}f(x)=f(a)$. Caso $a$ seja algum dos extremos do intervalo, deve ser empregada a continuidade lateral adequada.
Vale lembrar que ao analisarmos funções compostas de outras funções, seu domínio depende do domínio das funções que a constituem — por consequência, a sua continuidade também depende disso.
Teorema do Valor Intermediário
O teorema do valor intermediário, também conhecido por teorema de Bolzano ou ainda teorema de Bolzano-Cauchy, é um importante teorema da análise real e do cálculo, servindo de boa ferramenta para a resolução de vários problemas que podem surgir.
Uma de suas aplicações, por exemplo, é demonstrar que expressões complexas possuem raízes, fato que poderemos também demonstrar com o conceito de derivada, no futuro.
(Wikipedia) Seja $f$ uma função contínua definida no intervalo $I=[a,b]$ com $f(a) \neq f(b)$ e $n \in \mathbb{R}$ de forma que $f(a) < n < f(b)$. Logo, existe um número $x \in I$ tal que $f(x)=n$.
Ou seja, ao escolhermos um valor dentro do intervalo da imagem de nossa função, deve existir mu valor do domínio correspondente, já que a função é contínua.
Apêndice II — Limites Fundamentais
Limite fundamental trigonométrico
Denominamos o limite $\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{\sin{x}}{x} = 1$ como o limite fundamental trigonométrico. A importância deste limite vem de sua utilidade em demonstrar muitas outras relações, além de permitir simplificar a resolver muitos outros limites de funções trigonométricas.
Este resultado pode ser demonstrado por meio da combinação de uma construção geométrica com o teorema do confronto.
Limite fundamental exponencial
O limite $\lim_{x \rightarrow \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x = e$ recebe o nome de limite fundamental exponencial, definindo o número $e$ como o limite de uma sequência. Este número possui uma enorme importância matemática, permitindo a facilitação de diversos cálculos por meio de suas propriedades.
Denominado número de Euler ou número neperiano, ele pode ser definido de uma outra maneira, por meio de logaritmos, permitindo uma nova interpretação.