Teorema de Rolle & T.V.M.

O teorema de Rolle, também conhecido pela denominação lema de Rolle (em homenagem ao matemático francês Michel Rolle), é geralmente

Dada uma função real $f$, contínua num intervalo fechado $[a,b]$ e diferenciável num intervalo $(a,b)$, de forma que $f(a)=f(b)$, existe um valor $c \in (a,b)$ de forma que $f'(c)=0$.

Geometricamente, podemos interpretá-lo como a afirmação de que existe um único ponto cuja reta tangente é paralela ao eixo das abscissas, consequência da interpretação geométrica das derivadas.

A motivação para esse teorema ser conhecido por lema (ou ”teorema auxiliar”) é a sua utilidade em demonstrar o teorema do valor médio.

Teorema do Valor Médio

O teorema do valor médio (de Lagrange) é tido como um dos mais importantes teoremas da análise real, estabelecendo que:

Dada uma função real $f$, contínua num intervalo fechado $[a,b]$ e diferenciável num intervalo aberto $(a,b)$, onde $a<b$, existe um valor $c \in (a,b)$ de forma que

Esse teorema pode ser compreendido como uma generalização do teorema de Rolle, além de suas interpretações geométricas e físicas. Geometricamente, o Teorema do Valor Médio nos fornece as retas tangentes paralelas à secante entre os dois pontos $f(a)$ e $f(b)$; fisicamente, ele afirma que existe pelo menos um ponto em que a taxa de variação instantânea de uma quantidade foi igual a sua variação média.

Desse último caso, um exemplo muito palpável é o do velocímetro de um carro. Se numa viagem um automóvel teve uma velocidade média de 60 km/h, o TVM estabelece que houve pelo menos um instante em que o velocímetro marcou exatamente 60 km/h.

Regra de L'Hôpital

A Regra de L'Hôpital, também conhecida por Regra de Bernoulli, é uma excelente ferramenta para a resolução de limites que resultam em formas indeterminadas do tipo $\dfrac{0}{0}$ e $\dfrac{\infty}{\infty}$ caso o caminho da substituição direta seja adotado.

Montando gráficos

Podemos esboçar gráficos de diversas funções reais utilizando consequências dos conceitos de derivadas e limites. O objetivo desta seção é esboçar algumas técnicas para que esse esboço se torne possível. Talvez não seja possível realmente desenhar o gráfico em todos os seus detalhes, mas a noção do comportamento da função estará no alcance de suas mãos.

Determinando porções crescentes e decrescentes

Como visto anteriormente, a interpretação geométrica da derivada é a inclinação da reta tangente a curva num determinado ponto. Se essa inclinação é negativa, significa que a função é decrescente naquela região; inclinações positivas implicam em funções crescentes num dado intervalo. Essa utilização é chamada geralmente de teste da primeira derivada.

Perceba que $f'(x)$ é positiva quando a função está subindo e negativa quando o valor de $f(x)$ está caindo.

Pontos críticos

Chamamos pontos críticos os pontos do gráfico de uma dada função $f$ cuja derivada é nula ou inexistente. Uma derivada nula num determinado ponto implica num ponto de mínimo ou máximo.

Os pontos de máximo ou mínimo podem ser locais ou globais. Os chamamos de locais quando estamos delimitando um subconjunto do domínio da função, enquanto os globais (também chamados absolutos) referem-se a todo o domínio.

Pontos de derivada inexistente implicam regiões de assíntotas verticais, quebras ou então cúspides.

Uma assíntota vertical separa as duas "metades" das funções $(1/x)$. Em $x = 0$, a derivada não existe.

Teste da segunda derivada

Ao analisarmos a segunda derivada de uma função, podemos perceber que ela nos fornece o comportamento da primeira derivada. Por exemplo, vamos analisar a função $f(x)=x^3$ e suas duas primeiras derivadas.

A primeira derivada é 3x^2, a segunda é 6x. Uma parábola e uma reta, respectivamente.

Perceba que a segunda derivada é negativa enquanto a primeira está caindo e positiva enquanto a primeira está subindo. Além disso, existe um ponto, chamado ponto de inflexão, em que $f''(x)=0$, implicando na mudança de direção da primeira derivada.

A partir dessas observações, podemos ver que as duas derivadas nos fornecem algumas informações sobre o comportamento da função $f$, como a categorização entre crescente e decrescente e se seu comportamento de crescimento ou decrescimento está acelerando ou retardando. Na Física, conhecemos a segunda derivada da função espaço vs tempo como aceleração.

Taxas relacionadas

Os problemas de taxas relacionadas são problemas de cálculo relativamente comuns. Nesses problemas, temos taxas de variação produtos da mesma causa e, por isso, relacionadas entre si.

Podemos citar como exemplo a questão abaixo, formulada pelo prof. Dr. José Carlos de Lima, do Instituto de Matemática da UFAL:

Vamos anotar algumas informações.

A chave para a resolução desse problema e outros do mesmo tipo é o estabelecimento de relação entre essas taxas, explicitando a taxa procurada.

Derivando $(1)$ em relação a $t$, chegamos na expressão $\dfrac{dV}{dt}=4 \pi R^2 \dfrac{dR}{dt}$.

Como estamos procurando a taxa $\dfrac{dR}{dt}$ e já sabemos os outros dados na situação apresentada, podemos apenas substituir e encontrá-la.

Ou seja, quando o diâmetro do balão for 50 cm, seu raio está crescendo numa taxa de $400 \text{/} \pi$ centímetros por segundo.