Introdução

🎶🎹🎶🎹Próxima estação, next station, Butantã... (Imagem sob CC-BY-SA, via Wikimedia Commons)

A linha 1-Azul do metrô de São Paulo, também conhecida como Linha Norte-Sul, é a mais antiga linha do sistema do metrô, inaugurada em 1974. Também é uma das maiores e mais movimentadas, com milhões de passageiros atravessando os 20 quilômetros de trilhos todos os dias pelos mais variados motivos. A capital não poderia viver sem ela.

Sua extensão tem um preço: ela consegue ser extremamente lenta em horários de pico, mas incrivelmente rápida fora do rush — alguns minutos separam a "Liberdade" do "Paraíso".

Vamos imaginar que a coordenação do sistema mediu a velocidade média da linha, em horário de pico, como sendo aproximadamente 32 km/h. Por padrão, calculamos essa grandeza pela expressão:

Podemos nos perguntar: seria essa medida realmente precisa? Ela realmente representa a velocidade do trem analisado pelo percurso? Bom, não necessariamente. O trem poderia estar mais devagar no começo, ou mais rápido no fim, ou o contrário, ou ainda ter demorado demais numa estação pela dificuldade em fechar as portas.

A velocidade média é uma péssima medida se quisermos medir a velocidade do sistema em tempos específicos.

Mas perceba que podemos tornar nossa medida cada vez melhor ao subdividir nossa medida em várias medidas com espaços de tempo cada vez menores: quanto menor o espaço de tempo considerado, mais próximos estaremos da velocidade real em torno de um instante específico.

Essa visualização de uma taxa de mudança em tempos cada vez menores nos leva naturalmente ao conceito de derivada, que veremos adiante.

Definição

Definimos derivada como o limite da taxa de variação média de uma função quando o intervalo $h$entre os valores da nossa variável (tempo, espaço, …) se torna cada vez mais próximo de zero, ou seja, estamos medindo o quão “sensível” a função é em resposta a uma pequena mudança no seu valor de entrada.

De maneira mais formal, podemos definir que a derivada de uma certa função $f(x)$, denotada por $f'(x)$, é dada por:

Perceba que esse limite nos retornará uma função cuja variável ainda é $x$: no nosso exemplo acima, podemos calcular a velocidade da ferrovia em qualquer instante que quiséssemos.

Uma propriedade notável é que toda função que é diferenciável, isto é, possui uma derivada, é uma função contínua. O oposto, no entanto, nem sempre é verdade — muitas funções são contínuas mas não possuem derivadas, como por exemplo as funções modulares, que possuem limites laterais diferentes no ponto do “bico”.

De forma geral, as três razões possíveis de uma função deixar de ser diferenciável num dado ponto são a presença de “bicos”, a descontinuidade de uma função naquele ponto ou ainda que a reta tangente no ponto analisado é uma reta vertical — razão que será justificada na seção seguinte.

Interpretação geométrica

Ainda é possível uma interpretação geométrica da derivada — uma função que nos fornece o coeficiente angular da reta tangente à nossa função original em qualquer ponto que quisermos. Esse relacionamento pode ser deduzido a partir do próprio cálculo de um coeficiente angular dada uma reta e dois pontos:

Percebe que o cálculo do coeficiente angular é uma taxa de variação entre $y$ e $x$?

Interpretando o sinal da derivada

Dessa forma, se em um dado ponto $a$ temos $f'(a)>0$, podemos concluir que a função $f$ é crescente em torno desse ponto, pois a taxa de variação entre $y$ e $x$ é positiva — quando aumentamos $x$, aumentamos $y$.

O oposto acontece quando $f'(a)<0$, com $f$ decrescente em torno daquele ponto, característica indicada pela sua taxa de variação negativa — quando aumentamos $x$, diminuímos $y$.

O último caso, $f'(a)=0$, marca um ponto de máximo, mínimo ou ainda de inflexão — a mudança de $x$ não afeta $y$ nas proximidades daquele ponto. Veremos isso com mais detalhes adiante.

Exemplos

Por fim, vamos a um exemplo! Qual seria a derivada da função $f(x)=x^2$?

Nos utilizando da definição dada, podemos calcular o limite.

Esse padrão irá se repetir muitas vezes ao derivarmos pela definição — rearranjar a expressão com o objetivo de nos livrar do denominador $h$ e chegar numa expressão que, no final, podemos ignorar completamente essa variável, afinal, ela tente à zero, torna-se infinitamente pequena.

Que tal um outro exemplo, mais aplicado à realidade? Vamos dizer que numa vidraria é produzida uma certa quantidade $Q(t)$ (em kg) de vidro temperado, em função de um dado tempo $t$, em horas, aproximada pela função

Qual seria a velocidade de produção da fábrica? Podemos calcular a velocidade de produção em torno de um dado tempo derivando a função pela definição:

Ou seja, poderíamos dizer que a velocidade de produção é de $6t-10$ quilogramas de vidro por hora em um dado instante $t$. Por exemplo, quando $t=3$, temos que a velocidade é de

Em outro instante, por exemplo, quando $t=1$,

Uma produção que na verdade perde quilos de vidros a cada hora, indicando, talvez, perda de material ou uma paralisação por algum outro motivo.

Regras de derivação

É perceptível que se utilizar da definição de derivação sempre que se fazer necessário calcular uma derivada é algo trabalhoso e demorado. Por isso, podemos nos utilizar das regras de derivação, propriedades do cálculo de derivadas — muitas delas derivadas das propriedades de limites — que facilitam nosso trabalho e diminuem nosso esforço.

Derivada de uma função constante

A primeira dessas propriedades, e provavelmente a mais direta, é que a derivada de uma função constante é nula.

De fato, sendo $f(x)=c$, podemos deduzir — a título de curiosidade —, essa propriedade da seguinte maneira:

Função potência

Dada uma função $f(x)=x^n$, sua derivada será $f'(x)=nx^{n-1}$ para todo $n \in \mathbb{R}$.

Por exemplo, dada uma função $f(x)=x^4$, sua derivada será $f'(x)=4x^3$.

É possível demonstrar a validade dessa afirmação para $n \in \mathbb{N}$ pelo binômio de Newton e jogos de álgebra, tanto para $n \in \mathbb{R}$ por meio da diferenciação implícita e da diferenciação logarítmica, mostradas mais adiante.

Prova 1 — Binômio de Newton

Seja $f(x)=x^n$ uma função. Por definição, temos que sua derivada $f'(x)$ é dada pelo limite:

Expandindo o minuendo do numerador por meio do binômio de Newton, temos que:

Substituindo a expansão no numerador do limite original, temos:

Colocando $h$ em evidência e simplificando a fração, chegamos no limite:

Como queríamos demonstrar.

Prova 2 — Diferenciação implícita e logarítmica

Seja $f(x)=y=x^n$. Logo, temos que:

Como queríamos demonstrar. Os conceitos de derivação implícita e derivação logarítmica estão descritos mais adiante nesta seção.

Multiplicação por uma constante

Dadas duas funções $g(x)$ e $f(x)$ e uma constante $c \in \mathbb{R}$, de forma que $g(x)=cf(x)$, a derivada de $g(x)$ é dada pelo produto entre $c$ e $f'$.

Essa propriedade pode ser demonstrada de forma relativamente simples.

Perceba que a última afirmação é dada por meio de propriedades de limites — a constante “sai”.

Regra da soma ou da diferença

Ao derivarmos uma função formada pela soma, ou pela diferença, de duas outras funções, sua derivada será a soma (ou a diferença) das derivadas das funções que a formam, isto é

Regra do produto

Quando derivamos uma certa função $F(x)$ composta pelo produto de outras duas funções, a saber, $f(x)$ e $g(x)$, podemos dizer:

Essa propriedade pode ser demonstrada pela definição de derivada — simplificações e expansões das expressões.

Regra do quociente

Para encontrar a derivada de uma certa função $F(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}, g(x) \neq 0$, temos que

Essa regra pode ser demonstrada a partir da regra do produto de maneira relativamente direta. Pode também ser demonstrada pela definição de derivada de uma maneira robusta.

Regra da cadeia

A regra da cadeia possui uma demonstração matemática mais complexa, mas uma utilidade imensa, servindo de base para a resolução de problemas como por exemplo a derivação de funções exponenciais, explorada mais adiante — essa propriedade nos permite encontrar a derivada de funções compostas.

Dada uma função $F(x)=(f \circ g)(x) = f(g(x))$, temos que sua derivada é dada por

Ou ainda, de forma provavelmente mais didática:

Com $y$ sendo minha função original, $u$ sendo a minha função “interna”, tratada como variável, e finalmente $x$, a minha verdadeira variável.

Exemplo

Definindo a função $y=f(x)=\sqrt{5x-8}$, podemos encontrar sua derivada através da regra da cadeia.

Neste exemplo, chamamos $u=5x-8$. Assim, pela regra da cadeia:

Derivando funções exponenciais

As funções exponenciais formam um problema único no estudo do cálculo, pois obter sua derivada mostra-se algo um pouco mais complexo, que iremos abordar ao longo dessa seção.

Antes de tudo, chamamos função exponencial toda função $f(x)=b^x$, com $b > 0$ e $b \neq 1$.

Tendo isso em mente, vamos tentar derivá-la por meio da definição. Assim, temos que:

Perceba que não temos informação o suficiente para derivar uma função exponencial de base qualquer pois ainda não sabemos como calcular o último limite — só temos uma única informação, ele é uma constante, o limite não depende de $x$.

Chegamos ao fato de que o limite dessa função é proporcional a uma constante que não sabemos, ainda, seu valor. Chegamos a uma barreira.

Para derrubá-la, vamos primeiro imaginar duas bases, a saber, $b_1 = 2$ e $b_2 = 3$. Iremos substituí-las na função do interior do limite que não conseguimos resolver.

Assim, definimos duas funções, $p(h)$ e $g(h)$, com $b=b_1$ e $b=b_2$, respectivamente.

Note que quando calculamos o limite dessas duas funções, $\lim_{h \rightarrow 0} p(h)$ e $\lim_{h \rightarrow 0} g(h)$, ambos são bem próximos de 1, sugerindo a existência de uma base cujo limite é exatamente esse valor.

Vamos batizar essa base especial chamando-a $e$.

Na matemática, esse número é conhecido por número de Euler ou número neperiano, em homenagem aos matemáticos Leonhard Euler e John Napier.

Seria super conveniente...

Seria conveniente utilizar $e$ como nossa base, pois nossa expressão original, complicada, se tornaria algo simples e prático.

Dessa forma, quando $b=e$, o limite se torna:

Ou seja, a derivada da função exponencial natural — $f(x)=e^x$ — é ela própria.

“Mas e as outras bases?”, alguém pode se questionar, mas não se preocupe, pois esse número que encontramos é justamente a chave que irá permitir a superação de nossa barreira no cálculo da derivada de uma exponencial qualquer.

E se reescrevêssemos nossa função exponencial de base geral mudando a sua base para nosso número especial? Isso pode ser feito da seguinte maneira:

Lembrando que isso pode ser feito por uma propriedade fundamental dos logaritmos: $p^{\log_p{k}}=p$.

Voltando a nossa igualdade original, podemos continuar a simplificá-la:

Todo esse processo de reescrita foi para possibilitar a aplicação da regra da cadeia em nossa função. Assim, derivando $b^x$ pela regra da cadeia, nós obtemos que:

Conseguimos o que queríamos!

Por fim, é importante salientar que este resultado é também válido para qualquer função $b^{f(x)}$, isto é:

Essa regra será bastante útil em situações de funções exponenciais compostas.

Derivando funções logarítmicas

Podemos denominar função logarítmica toda função $f(x)=\log_bx$, com todas as restrições numéricas necessárias para que o logaritmo exista, como por exemplo, que $b>0$ e $b\neq 1$.

Por meio da derivação implícita, técnica que veremos adiante, podemos encontrar que as derivadas das funções logarítmicas são da forma:

Por exemplo, quando $b=e$, temos que $f'(x)=\dfrac{1}{x}$.

Derivadas de funções trigonométricas

Todas as funções trigonométricas podem ser reconstruídas por meio de recombinações das funções seno e cosseno. Tendo isso em vista, abaixo estarão as suas derivadas pela definição e em seguida uma lista das derivadas das outras funções.

Derivando a função seno

Pela definição, temos:

Utilizando a propriedade trigonométrica do seno da soma, obtemos:

Por fim, aplincando os limites fundamentais da trigonometria, cujas provas podem ser encontradas neste artigo da Wikipedia, obtemos finalmente que:

Derivando a função cosseno

Seguindo um caminho semelhante à seção anterior, pela definição, temos que:

Por meio da identidade do cosseno da soma, podemos reescrever:

Por fim, pelos limites mencionados na seção anterior, podemos concluir nossa demonstração.

Outras funções trigonométricas

Para essas outras funções, expostas na tabela abaixo, as demonstrações de suas derivadas podem ser realizadas por meio das regras do quociente ou do produto. Não as faremos aqui por questões de brevidade.

Funções trigonométricas inversas

As derivadas das funções trigonométricas inversas podem ser demonstradas por meio da técnica da derivação implícita, tema da próxima seção. Suas provas também podem ser consultadas no artigo da Wikipedia citado anteriormente, onde estão apresentadas de forma detalhada.

Observe que metade das derivadas coincide com a outra metade, diferindo apenas pelo sinal. Por exemplo:

Note também que as funções trigonométricas e suas inversas apresentam um padrão interessante: os pares de derivadas costumam ser estruturalmente semelhantes, diferindo apenas no sinal. Esse comportamento tem origem nas relações geométricas entre essas funções no círculo trigonométrico.

É importante destacar que essas fórmulas são válidas apenas nos domínios em que as funções estão definidas. Por exemplo, $\sin^{-1} x$ está definida apenas no intervalo $[-1,1]$.

Práticas, regras e técnicas úteis

Esta seção servirá como um compêndio de algumas regras, técnicas e práticas que podem ser úteis em algumas situações, acelerando o processo de derivação e economizando tempo e esforço.

Derivação implícita

A derivação implícita é uma técnica muito útil para derivar funções oriundas de equações que relacionam $x$ e $y$, pois nem sempre é fácil escrever $y$ diretamente em função de $x$. Quando isso acontece, precisamos usar a derivação implícita: derivamos os dois membros da equação em relação a $x$ enquanto tratamos $y$ como uma função de $x$ ainda desconhecida.

Por exemplo, considere a equação $x^2+y^2=1$, a equação de um círculo. É fácil ver que podemos explicitar $y=f(x)$ por meio de uma simples reescrita:

Mas e se tivermos uma equação como $\sin{(x+y})=y²\cos{x}$? Nesse caso, como encontrar a derivada de $y$? Começaremos derivando ambos os membros em relação a $x$.

Perceba que sempre aplicamos a regra da cadeia ao derivarmos uma expressão que envolve $y$, pois ela é uma função de $x$.

Essa estratégia de derivação se mostra muito útil em problemas das mais variadas áreas, como Física, Química e Economia — quando sabemos a relação entre as variáveis de forma implícita, e seria trabalhoso demais colocar uma em função da outra.

Se quisermos encontrar a expressão original de $y$, poderemos nos utilizar das técnicas de integração e equações diferenciais, que veremos no decorrer dos próximos cursos — livretos — de Cálculo.

Derivação logarítmica

A derivação logarítmica é uma prática muito eficiente quando se mostra necessário derivar funções formadas por uma grande quantidade de expressões, mais comumente produtos, quocientes e potências.

Ela consiste apenas em aplicar o logaritmo natural na equação da função, simplificar e derivar implicitamente, extraindo a derivada ao final.

Por exemplo, vamos encontrar a derivada da função $f(x)=\dfrac{x²\sqrt[3]{5x-10}}{(x-2)^2}$.

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação e simplificar:

Perceba que estamos considerando o módulo da expressão pois a função logaritmo não está definida para números negativos.

Com a expressão simplificada, derivamos ambos os lados da equação em relação a $x$.

Perceba que ignoramos completamente a função módulo necessária depois da derivada: o motivo está na derivação de $\ln|y|$.

Ao derivar $\ln |y|$, a regra da cadeia nos dá:

Mas como $\dfrac{1}{|y|} \cdot \text{sgn}(y)=\dfrac{1}{y}$, temos que o resultado final simplifica para $\dfrac{1}{y} \cdot y'$.

Essa relação é válida para os casos de $y > 0$ e $y < 0$ — quando $y=0$, a derivada não existe.

Finalizando essa observação importante e retornando ao objetivo principal, podemos pela regra da cadeia encontrar as derivadas procuradas e continuar a simplificação.

Por fim, multiplicando ambos os lados por $y$:

Veja como essa técnica poupou tempo ao evitar que aplicássemos repetidas vezes as regras do produto, quociente e da cadeia!

Regra de L’Hôpital

Enquanto o simples rearranjo algébrico pode levantar indeterminações em alguns limites, a regra de L’Hôpital nos ajuda a tratar de forma simples dois tipos de indeterminações, a saber, as de tipos $\dfrac{0}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$.

A regra estabelece que, se supormos duas funções, $f(x)$ e $g(x)$, diferenciáveis em um intervalo aberto $I$, com $g'(x) \neq 0$ — exceto em um dado $a \in I$, possivelmente —, e uma das seguintes situações ocorrerem,

podemos concluir que $\lim_{x \rightarrow a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$.

Para fins ilustrativos, vamos cálcular o seguinte limite: $\lim_{x \rightarrow 2} \dfrac{x - 2}{x^2 - 4}$.

Podemos perceber que se substituirmos diretamente, teremos uma indeterminação do tipo $\dfrac{0}{0}$. O próximo passo é derivar o numerador e o denominador, para levantar essa indeterminação. Derivando-os, chegamos em:

Simples, prático, eficiente. Essa regra é extremamente útil, e irá nos poupar horas de trabalho.

Apêndice: notações para derivada

Ao longo dos anos, diversas notações para representar a função derivada foram desenvolvidas, com as mais conhecidas sendo as de Newton, Leibnitz e Lagrange. Enquanto a primeira é utilizada mais nos campos da Física, as duas últimas são mais gerais, podendo ser encontradas em uma variedade de contextos.

A notação de Newton, nomeada em homenagem a Isaac Newton, físico inglês, é comumente utilizada na física para representar as funções derivadas de uma função cujo domínio é o tempo.

Por exemplo, sendo $y(t)$ uma função da altura de um corpo no decorrer do tempo, $\dot{y}$ seria sua primeira derivada — a velocidade — e $\ddot{y}$ sua segunda derivada, a aceleração. Por praticidade, essa notação não é muito utilizada para derivadas de ordem superior.

Uma notação um pouco mais explícita é a de Lagrange. Para uma certa função $f(x)$, escrevemos sua derivada de primeira ordem como $f'$ ou $f^{(1)}$, a de segunda ordem como $f''$ ou $f^{(2)}$ e assim por diante. É um meio termo entre as notações de Newton e Leibnitz.

Por sua vez, a notação de Leibnitz é a mais explícita e detalhada de todas as comumente utilizadas, identificando inclusive a variável que a função está sendo derivada. Para uma certa função $f(x)$, podemos denotar sua derivada em relação à variável $x$ por $\dfrac{df}{dx}$ ou $\dfrac{d}{dx}f(x)$.