Cinemática

Conceitos iniciais

Chamamos cinemática a descrição física do movimento de um corpo ao longo do tempo. Os elementos básicos desta descrição são as grandezas de posição e tempo.

Levando em conta que a grandeza de velocidade (média) é a proporção de espaço percorrido num dado tempo, também conhecida, a velocidade instantânea é o valor da função derivada da função deslocamento num dado instante temporal.

De forma semelhante, a aceleração é o valor da segunda derivada da função deslocamento num dado ponto. De fato, a partir das operações de integração e derivação, podemos encontrar as equações de movimento para qualquer móvel.

Uma aplicação notável desta última informação são os Sistemas de Navegação Inercial (Inertial Navigation Systems). Os SNIs são capazes de determinar a posição atual do veículo independentemente de informação externa, somente a partir do registro da aceleração sofrida pelo veículo ao longo do tempo e de uma posição inicial registrada na memória. São geralmente utilizados em aeronaves e espaçonaves, além de embarcações, como sistemas redundantes, caso a comunicação falhe.

Vetores

Chamamos vetores os objetos matemáticos que possuem um módulo (magnitude) e uma orientação. No campo da Física, algumas grandezas são descritas como vetoriais, possuindo direção e magnitude e descritas utilizando estes objetos. Como exemplo, podemos citar entes físicos como força e momento. Estas grandezas contrastam com as chamadas escalares, descritas por números reais ("escalares"). Dentre estas últimas, podemos citar como exemplo a temperatura ou a energia cinética de um corpo.

São chamados vetores unitários ou versores os vetores que possuem magnitude ("tamanho") exatamente uma unidade, comumente sendo escolhidos para formar um sistema de coordenadas. No espaço usual, chamamos o sistema de coordenadas de dextrogiro, pois, após a mudança de posição de algum dos vetores, a posição relativa aos outros deve permanecer igual.

Os versores padrão do espaço tridimensional são $\hat{i}$, $\hat{j}$ e $\hat{k}$, ortogonais entre si. Quando escrevemos versores, eles possuem um circunflexo, geralmente, para diferenciá-los de outros vetores.

Espaço tridimensional representado. Nesta ilustração, os versores são nomeados por letras "j" com índices numéricos.

Os vetores podem ser representados de forma geométrica ou algébrica de acordo com um sistema de coordenadas (matematicamente conhecido por "base") e, a partir dessas representações, podem passar por operações matemáticas.

Ao representarmos os vetores, fazemos o uso dos chamados componentes, projeções destes vetores num determinado eixo. Escrever um vetor como uma soma de seus componentes é realizar a decomposição deste vetor. Notavelmente, no espaço tridimensional, podemos representar um vetor como a soma de seus vetores componentes ou pela combinação de sua magnitude com seus ângulos em relação aos eixos das coordenadas.

Ilustração da soma e da decomposição de vetores em seus componentes base. CC-BY-SA, via Wikimedia Commons.

Operações com vetores

Multiplicação por escalar

Um vetor pode ser multiplicado por um escalar, produzindo um novo vetor. Enquanto algebricamente suas coordenadas sejam multiplicadas por este número, graficamente o vetor é "esticado" ou "comprimido" de acordo.

Por exemplo, $5\vec{v}$ produz um vetor $\vec{u}$ com o quíntuplo da magnitude de $\vec{v}$. Em coordenadas, teríamos algo como:

$ 5 \cdot \begin{bmatrix} u_1 \\\\ u_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5u_1 \\\\ 5u_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_1 \\\\ v_2 \end{bmatrix} $

Soma de vetores

Podemos somar dois vetores geometricamente transladando um vetor de forma que seu início sobreponha-se com a ponta de outro. Traçando um novo vetor que una a origem de um dos vetores com a ponta de outro, construímos seu vetor resultante por meio da regra do paralelogramo.

Ilustração da regra do paralelogramo ao somar dois vetores. Imagem sob CC-BY-SA, via Wikimedia Commons

Para somar dois vetores algebricamente, podemos somar suas coordenadas, produzindo uma nova matriz.

Por exemplo, dado os vetores

$ \begin{align*} \vec{a} &= \begin{bmatrix} 2 \\\\ 5 \end{bmatrix} \\\\ \vec{b} &= \begin{bmatrix} 4 \\\\ 5 \end{bmatrix} \end{align*} $

Sua soma pode ser escrita como:

$ \begin{align*} \vec{a} + \vec{b} &= \begin{bmatrix} 2 + 4 \\\\ 5 + 5 \end{bmatrix} \\\\ &= \begin{bmatrix} 6 \\\\ 10 \end{bmatrix} \end{align*} $

Considerando os versores do espaço tridimensional, poderíamos escrever a soma desta maneira, também:

$ \begin{align*} \vec{a} + \vec{b} &= 2\hat{i} + 5\hat{j} + 4 \hat{i} + 5 \hat{j} \\\\ &= (2 + 4)\hat{i} + (5 + 5)\hat{j} \\\\ &= 6\hat{i} + 10\hat{j} \end{align*} $

Produto escalar

O produto escalar, também chamado produto ponto ou produto interno é uma operação especial definida como a soma do produto coordenada a coordenada dos vetores. Em notação de somatório, podemos escrever:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \langle \vec{a}, \vec{b} \rangle = \sum_{i=1}^{N}a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n $

Esta operação também pode ser escrita alternativamente como:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} = ||a||\cdot ||b|| \cdot \cos{\theta} $

Com $||a||$ e $||b||$ sendo as magnitudes de cada vetor e $\cos{\theta}$ o ângulo formado entre os dois vetores considerados.

O produto interno também é comutativo, isto é, $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$. Além disso, esta operação pode ser escrita :

Como propriedade notável, o produto escalar nos fornece a componente de um dado vetor $\vec{a}$ na direção de um vetor $\vec{b}$ por meio da equação $a_b = \vec{a} \cdot \hat{b}$, onde $\hat{b}$ é o vetor unitário na direção do vetor $\vec{b}$, isto é, $\dfrac{\vec{b}}{||b||}$.

Ilustração da projeção escalar entre dois vetores. Domínio público, via Wikimedia Commons.

Produto vetorial

Por sua vez, o produto vetorial é uma outra operação especial, também definida entre dois vetores. Diferencia-se do produto escalar por gerar outro vetor, com este perpendicular aos dois vetores originais. Denotado por $\vec{a} \times \vec{b}$, lê-se "'a' vetor 'b'" ou "'a' externo 'b'", diferenciando-se do produto escalar, geralmente lido como "interno".

O vetor gerado pelo produto vetorial possui orientação determinada pela regra da mão direita, por uma conveniência para evitar trabalho desnecessário em relação aos vetores base do espaço escolhido. A magnitude do vetor gerado é $M = ||a|| \cdot ||b|| \cdot \sin{\phi}$, com $\phi$ correspondendo ao menor ângulo entre os vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$.

Vale lembrar que, por consequência das definições do produto vetorial, e do espaço euclideano, o produto vetorial não é comutativo. Entretanto, vale a identidade $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$.

Ilustração do produto vetorial, Domínio Público, via Wikimedia Commons.

Representando movimentos em duas e três dimensões

Combinando os conceitos do Cálculo com os sistemas de coordenadas, é possível descrever movimentos no espaço tridimensional de forma completa. Para um ponto material, medimos sua posição em relação à origem por um vetor da forma:

$ \vec{r}(t) = x(t) \cdot \hat{i} + y(t) \cdot \hat{j} + z(t) \cdot \hat{k} $

Sua velocidade e aceleração podem ser obtida por meio da derivação das funções $x(t)$, $y(t)$ e $z(t)$.

Este vetor é chamado de vetor posição, com a diferença entre dois vetores posição chamada de deslocamento: $\Delta \vec{r} = \vec{r_2} - \vec{r_1}$.

A partir do vetor posição são definidas outras grandezas, como por exemplo, a velocidade (vetorial) média, que é a taxa de variação do vetor posição ao longo de um intervalo de tempo.

$ \vec{v}_\text{média} = \dfrac{\Delta\vec{r}}{\Delta t} $

Ao considerarmos um intervalo de tempo extremamente pequeno, definimos a chamada velocidade (vetorial) instantânea, ou simplesmente velocidade, de um corpo. Para o cálculo dessa grandeza, basta derivar normalmente as funções velocidade em cada coordenada.

$ \begin{align*} \vec{v} &= \dfrac{d\vec{r}}{dt} \\\\ \vec{v} &= \dfrac{dx}{dt}\hat{i} + \dfrac{dy}{dt}\hat{j} + \dfrac{dz}{dt}\hat{k} \\\\ \vec{v} &= v_x \hat{i} + v_y \hat{j} + v_z \hat{k} \end{align*} $

Além disso, é importante mencionar que este vetor é tangente à trajetória do corpo estudado. De forma semelhante, podemos definir o vetor aceleração, que informa a taxa de variação do vetor velocidade em relação ao tempo.

$ \begin{align*} \vec{a} &= \dfrac{d \vec{v}}{dt} \\\\ \vec{a} &= \dfrac{d v_x}{dt}\hat{i} + \dfrac{d v_y}{dt} \hat{j} + \dfrac{d v_z}{dt}\hat{k} \end{align*} $

Movimentos especiais

No estudo da cinemática, convém estudar com mais detalhes alguns movimentos simples devido a sua imensa importância e presença em numerosos sistemas físicos, incluindo os de nosso cotidiano. São estes os movimentos balísticos e os movimentos circulares uniformes.

Movimento balístico

Denominamos movimento balístico o movimento descrito por um corpo lançado com uma velocidade inicial $\vec{v}$ sujeito a uma aceleração constante $\vec{g}$ para baixo, além de um ângulo inicial de lançamento $\theta_0$ com o chão. Esta aceleração é denominada aceleração gravitacional, com este movimento descrevendo uma trajetória parabólica.

Representação de um movimento balístico com sua velocidade inicial decomposta, seu ângulo de lançamento e sua aceleração constante para baixo. Imagem sob CC-BY-SA, via Wikimedia Commons.

Pelo princípio da independência dos movimentos de Galileu, podemos decompor o movimento em duas dimensões, com sua velocidade inicial escrita da forma

$ \vec{v_0} = \vec{v_{0x}}\hat{i} + \vec{v_{0y}} \hat{j} $

e suas velocidades componentes da seguinte maneira:

$ \begin{align*} \vec{v_{0x}} &= v_0 \cdot \cos\theta_0 \\\\ \vec{v_{0y}} &= v_0 \cdot \sin\theta_0 \end{align*} $

A velocidade horizontal $v_x$ de um projétil permanece constante durante todo o movimento, isto é, num movimento unidimensional retilíneo e uniforme. Desta forma, podemos escrever que seu deslocamento no eixo horizontal é

$ x - x_0 = v_{0x} \cdot t = (v_0 \cdot \cos{\theta_0}) \cdot t $

Verticalmente verifica-se a existência de um movimento retilíneo uniformemente variado, portanto:

$ y - y_0 = v_{0y} \cdot t - \dfrac{1}{2}gt^2 = (v_0 \cdot \sin{\theta_0})t - \dfrac{1}{2}gt^2 $

Além disso, pela natureza do movimento, podemos escrever a equação da velocidade vertical e a equação de Torricelli.

$ \begin{align*} v_y &= v_0 \cdot \sin \theta_0 - gt \\ v_y^2 &= (v_0 \cdot \sin \theta_0)^2 - 2g(y - y_0) \end{align*} $

Por manipulações algébricas das equações apresentadas, encontramos a chamada equação da trajetória, que relaciona a posição vertical do projétil com sua posição horizontal. É a partir desta equação que podemos afirmar a natureza parabólica do movimento balístico.

$ y = x\tan(\theta_0) - \dfrac{gx^2}{2(v_0 \cdot \cos\theta_0)^2} $

O alcance horizontal do projétil é também conhecida como sua distância máxima, podendo também ser obtida a partir das equações anteriores.

$ R = \dfrac{v_0^2}{g} \cdot \sin{2\theta_0} $

Movimento circular uniforme

Quando um corpo se encontra em um movimento circular uniforme (MCU), sua velocidade escalar ("tangencial") é constante, embora seu vetor velocidade esteja constantemente mudando de direção por consequência da aceleração centrípeta. Este movimento possui uma trajetória em formato de circunferência ou de arco de circunferência.

Representação animada de um movimento circular uniforme de raio $\vec{r}$ e velocidade vetorial $\vec{v}$. GIF sob CC-BY-SA, via Wikimedia Commons.

Esta aceleração pode ser calculada pela expressão $a = \dfrac{v^2}{r}$, com o tempo necessário para a execução de uma revolução denominado período (de revolução) e denotado por $T$. Além disso, esta grandeza possui a seguinte relação com a velocidade escalar e o raio do movimento:

$ T = \dfrac{2\pi r}{v} $

Referências

  1. HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física, v. 1: mecânica. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016;
  2. LIMA, G.; SILVA. Geometria analitica. Rio de Janeiro. 2015;
  3. Playlist de Física 1 da USP formada por aulas do prof. Dr. Marcelo Martinelli (Acesse aqui).