O Plano

Sistema de coordenadas

Ao escolher um plano formado por retas perpendiculares entre si, comumente chamadas de $x$ e $y$, e muni-lo com uma métrica, definindo uma certa distância da origem sobre as retas — intersecção das retas, denominadas eixos — como a unidade, formamos um sistema de coordenadas para este plano escolhido, formando um plano cartesiano. A construção recebe este nome em homenagem a René Descartes, filósofo e matemático francês, um dos fundadores da Geometria Analítica.

A partir dos números $x$ e $y$, chamados de coordenadas, é possível construir duas retas cuja intersecção é um ponto $P$ no plano construído. Representando $P = (x,y)$, formamos uma correspondência entre os padres ordenados dos números reais — cujo conjunto é o $\mathbb{R}^2$ — e os pontos do plano.

Dados dois pontos $P(x_2,y_2)$ e $Q(x_2,y_2)$, é possível construir um triângulo retângulo e mostrar que, por meio do Teorema de Pitágoras, a distância entre esses dois pontos escolhidos é de

d(P, Q) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}

O ponto médio, que situa-se equidistante de dois pontos $A$ e $B$ é, por sua vez, encontrado a partir da média aritmética das coordenadas dos dois pontos considerados, isto é:

C = \left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)

Vetores

Podemos interpretar os pontos do plano como vetores, definindo com isto a grandeza do módulo do vetor (também conhecida como intensidade, magnitude...) denotada por $|\vec{v}|$ ou $||\vec{v}||$. Dessa forma, dado um vetor $\vec{P} = (x,y)$, temos que $||\vec{P}|| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Duas operações com vetores podem ser inicialmente definidas, a soma e a multiplicação por escalar. Sendo $\vec{a} = (a_x, a_y)$ e $\vec{b} = (b_x, b_y)$, com $k \in \mathbb{R}$:

\begin{align*} \vec{a} + \vec{b} &= (a_x, a_y) + (b_x, b_y) = (a_x + b_x, a_y + b_y) \\\\ k\vec{a} &= k(a_x, a_y) = (ka_x, ka_y) \end{align*}

A operação da soma de vetores possui algumas propriedades. São elas:

\begin{align*} \vec{a} + \vec{b} &= \vec{b} + \vec{a} \\\\ \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) &= (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} \\\\ \vec{a} + \vec{0} &= \vec{a} ; \vec{0} = (0,0) \end{align*}

A operação de multiplicação por escalar também possui algumas propriedades. São elas:

\begin{align*} k_1(\vec{a} + \vec{b}) &= k_1\vec{a} + k_1\vec{b} \\\\ (k_1 + k_2) \vec{a} &= k_1\vec{a} + k_2\vec{a} \\\\ k_1(k_2\vec{a}) &= (k_1k_2)\vec{a} \\\\ 1 \cdot \vec{a} &= \vec{a} \\\\ 0 \cdot \vec{a} &= \vec{0} \end{align*}

Ainda podemos denominar $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$ como o vetor oposto de $\vec{a}$. Possuem módulos iguais e sentidos opostos, de forma que sua soma é o vetor nulo.

Além disso, todo vetor que possui magnitude um é chamado "vetor unitário" ou "versor", podendo ser denotado por um "circunflexo", por exemplo, $\hat{n}$.

Produto escalar e projeção de vetores

O produto escalar entre dois vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$, também chamado "produto interno", é denotado por $\vec{a} \cdot \vec{b}$ e lido como "'a' interno 'b'". Uma notação alternativa pode ser escrita utilizando parênteses estilizados: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \langle \vec{a}, \vec{b} \rangle$.

Esta operação é definida como a soma do produto coordenada a coordenada dos vetores. Em notação de somatório, podemos escrever:

\vec{a} \cdot \vec{b} = \langle \vec{a}, \vec{b} \rangle = \sum_{i=1}^{N}a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n

Esta operação também pode ser escrita alternativamente como:

\vec{a} \cdot \vec{b} = ||a||\cdot ||b|| \cdot \cos{\theta}

Com $||a||$ e $||b||$ sendo as magnitudes de cada vetor e $\cos{\theta}$ o ângulo formado entre os dois vetores considerados.

Esta escrita alternativa origina-se da desigualdade de Cauchy-Schwartz,

\vec{a} \cdot \vec{b} \le ||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}||,

que, ao adaptada, produz a desigualdade

-1 \le \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}||} \le 1.

De fato, como existe apenas um único ângulo $\theta$ tal que o valor de seu cosseno esteja entre $-1$ e $1$, pode-se escrever

\cos{\theta} = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}||}.

Multiplicar ambos os membros por $||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}||$ produz a expressão que queríamos encontrar. Aplicar $\cos^{-1}$ em ambos os membros também produz uma maneira de encontrar o ângulo entre dois vetores a partir de seu produto interno e de suas normas.

Esta operação, o produto escalar, possui algumas propriedades:

\begin{align*} \vec{a} \cdot \vec{a} &= ||\vec{a}||^2 \\\\ \vec{a} \cdot \vec{b} &= \vec{b} \cdot \vec{a} \\\\ \vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) &= \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} + \vec{c} \\\\ (k\vec{a})\vec{b} &= \vec{a} \cdot (k\vec{b}) = k(\vec{a} \cdot \vec{b}) \end{align*}

Além disto, é possível projetar um vetor sobre o outro por meio da operação de produto interno. Projetar um vetor sobre o outro, neste caso, é encontrar a "sombra" de um vetor $\vec{a}$ num vetor $\vec{b}$, a componente deste vetor que se encontra sobre o outro que, ao adicionada a outro componente perpendicular, produz o vetor $\vec{a}$.

De fato, a projeção de $\vec{a}$ sobre $\vec{b}$ caso $\theta \lt 90°$ é dada por

\vec{a_b} = ||\vec{a}|| \cdot \cos{\theta} \cdot \dfrac{\vec{b}}{||\vec{b}||},

com a expressão precisando ser adaptada para $\theta \ge 90°$:

\vec{a_b} = \left(\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{||\vec{b}||^2}\right)\vec{b}

Uma outra consequência da desigualdade de Cauchy-Schwartz é a chamada desigualdade triangular,

||\vec{a} + \vec{b}|| \le ||\vec{a}|| + ||\vec{b}||.

Retas

Sendo $\vec{v} = (a,b)$ um vetor não-nulo e $A = (x_0, y_0)$ um ponto do plano cartesiano, podemos dizer que um ponto $P(x, y)$ só pertence à reta que contém $A$, na direção de $\vec{v}$, se

\vec{AP} = t\vec{v}, t \in \mathbb{R}.

Esta equação é conhecida como a equação vetorial da reta, podendo também ser expressa em forma de coordenadas,

$ (x-x_0, y-y_0) = (ta, tb), $

com esta igualdade correspondendo a um sistema de equações, cujas equações são denominadas equações paramétricas da reta.

\begin{cases} x = x_0 + at \\\\ y = y_0 + bt \end{cases}

Por exemplo, as equações

\begin{cases} x = 1 + 2t \\\\ y = 2 - 3t \end{cases}

são as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto $(1,2)$ e possui a direção do vetor $(2, -3)$. Dessa forma, todos os pontos $(1+2t, 2-3t)$, com $t \in \mathbb{R}$ pertencem à reta imaginada.

Equações cartesiana, geral e reduzida

Dadas as equações paramétricas apresentadas anteriormente, podemos eliminar o parâmetro $t$ ao multiplcar a primeira equação por $b$ e a segunda por $a$ e, logo após, subtraindo as duas, produzindo:

$ ay - bx = ay_0 - bx_0 $

Perceba que o segundo membro da equação é constante e, portanto, podemos reescrever esta equação:

$ ay - bx = c $

Esta equação produzida após a eliminação do parâmetro $t$ é chamada de equação cartesiana da reta que, por sua vez, pode ser adaptada tomando $A = b$, $B = -a$ e $C = -c$ para formar a equação geral da reta:

$ Ax + By + C = 0 $

A expressão recebe este nome por poder exprimir qualquer reta no plano cartesiano e de que qualquer reta no plano poder ser escrita por meio de uma equação geral.

Considerando um ponto $A = (x_0, y_0)$ que satisfaça a equação geral de uma reta, podemos adaptá-la para o formato

$ A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0 $

que é a equação geral de uma reta que passa pelo ponto $A$ e possui a direção do vetor $(-B, A)$.

Uma outra adaptação da equação cartesiana é a chamada equação reduzida, produzida após reescrever $m = \dfrac{b}{a}$:

$ y = mx + k $

Notavelmente, $m$ nesta equação equivale a $\tan{\theta}$, com $\theta$ sendo o ângulo de intersecção entre a reta e o eixo das abscissas. Em razão disto, o parâmetro $m$ é denominado coeficiente angular ou declividade da reta, com $k$ recebendo a alcunha de coeficiente linear.

Distância entre um ponto e uma reta

Dados um ponto $P(x_0, y_0)$ e uma reta $r$ de equação $y = mx + k$, a distância entre o ponto $P$ e a reta $r$, denotada por $d(P, r)$, é definida como o comprimento da perpendicular que une $P$ a $r$.

d(P, r) = \dfrac{|-y_0 + mx_0 + k|}{\sqrt{1 + m^2}}

Circunferências

Assim como retas, também podemos representar circunferências por equações. Desta forma, considerando um ponto $C = (x_0, y_0)$ — o centro da circunferência — e um vetor $A = (x_0 + r, y_0)$ com $r$ sendo o raio da construção geométrica e $t$ o ângulo formado entre um certo ponto $P$ pertencente à circunferência e o vetor $A$, podemos escrever que todo ponto $P$ cujas coordenadas satisfaçam o sistema

\begin{cases} x = x_0 + r \cos{t} \\\\ y = y_0 + r \sin{t} \end{cases}

pertence à circunferência. Essas equações, por sua vez, são chamadas de equações paramétricas da circunferência. Adaptando-a, de forma semelhante ao que foi feito no caso das linhas retas, podemos escrever a chamada equação cartesiana da circunferência:

$ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 $

Por fim, de forma ainda mais ampla, a equação geral da circunferência é dada por:

$ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 $

Com $D, E, F \in \mathbb{R}$.

Referências

LIMA, G.; SILVA. Geometria analitica. Rio de Janeiro. 2015.