Definições

Algumas construções geométricas (como a elipse, a parábola e a hipérbole) recebem o nome de "cônicas" ou ainda "seções cônicas" em razão de sua construção tradicional ser realizada a partir do corte de cones de maneiras particulares. Entretanto, outras maneiras de construção e definição existem, que serão exploradas ao longo deste documento.

Elipses

Dados dois pontos $F_1$ e $F_2$ e um terceiro ponto $P$ no plano, além de um número $r$ de forma que $r \gt d(F_1, F_2)$,definimos a elipse como o conjunto de todos os pontos $P(x,y)$ tais que

Dessa definição extrai-se a popular construção de elipses com dois pontos fixos, um lápis e um barbante amarrado nos pontos fixos. Apoia-se o lápis no barbante e desenha-se de forma que o barbante mantenha-se esticado. O traçado final é uma elipse.

Construção geométrica de uma elipse a partir de pontos fixos. Animação sob CC-BY-SA, via Wikimedia Commons.

Os pontos $F_1$ e $F_2$ são chamados focos da elipse, com os pontos formados pela intersecção da reta que passa por eles com a elipse e pela intersecção da reta perpendicular a esta e que passa pelo ponto médio entre os focos sendo denominados vértices. Sendo os dois primeiros pontos $D$ e $B$ e os dois últimos $A$ e $C$, temos o segmento $\bar{BD}$ de comprimento $a$ (o eixo maior) e o segmento $\bar{AC}$ de comprimento $b$ (o eixo menor).

A equação reduzida da elipse no plano cartesiano, centrada na origem com seus focos sobre o eixo das abscissas, é dada por:

Hipérboles

Dados dois pontos $F_1$ e $F_2$ e um número $r \lt d(F_1, F_2)$, a hipérbole é o conjunto de todos os pontos $P(x,y)$ tais que $|d(F_1, P) - d(F_2, P)| = r$. Enquanto os pontos $F_1$ e $F_2$ ainda possuem a denominação de "focos", a distância $r$ recebe a nomenclatura de "eixo" da hipérbole.

De forma similar a elipse, os pontos $A_1$ e $A_2$ formados pela intersecção da hipérbole com o segmento de reta que une os seus focos são chamados de vértices da hipérbole.

Uma hipérbole centrada na origem com focos sobre o eixo das abscissas é dada pela equação reduzida

Além disso, as retas

são chamadas assíntotas da hipérbole, sendo os casos extremos das retas secantes à hipérbole que passam pela origem, com estas possuindo coeficientes angulares $m \in \left[-\dfrac{b}{a}, \dfrac{b}{a}\right]$.

Parábolas

Dados um ponto $F$ e uma reta $r$, chamamos de parábola de foco $F$ e diretriz $r$ o conjunto de pontos que satisfaz $d(P, F) = d(P, r)$. Perceba que a reta diretriz direciona a orientação da parábola no plano.

Quando consideramos as posições de uma parábola com seu vértice na origem, há quatro casos especiais que podem ser analisados: concavidade para cima, concavidade para baixo, concavidade para a direita e concavidade para a esquerda. Respectivamente, suas equações são:

Nestes quatro casos especiais, $a = \dfrac{1}{2}d(F,r)$.

Translação e rotação de eixos

Utilizar novos sistemas de coordenadas originados de translações (movimentos) e/ou rotações do sistema de coordenada usual no plano cartesiano pode se mostrar algo extremamente útil para simplificar equações e problemas.

Translação

Podemos transladar, mover, os eixos coordenados de forma que a origem se encontre num outro determinado ponto $O'$ ao invés do usual $(0, 0)$ por meio de simples operações de subtração. Dado um outro sistema de coordenadas com origem em $O'= (a,b)$, as coordenadas de um ponto $P(x, y)$ neste novo sistema serão $P(x - a, y - b)$.

Esta relação pode ser demonstrada/visualizada por meio de um diagrama contendo ambos os sistemas de coordenadas.

Rotação

Ao rotacionar os eixos coordenados em um ângulo $\theta$, mensurado no sentido usual (anti-horário), criamos um outro sistema de coordenadas em que todos os pontos $P(x,y)$ do sistema usual recebem novas coordenadas $(x_1, y_1) = (x\cos{\theta} - y\sin{\theta}, x\sin{\theta} + y\cos{\theta})$.

De fato, qualquer ponto (vetor) $(x, y)$ no plano pode ser rotacionado em $\theta$ graus para um ponto (vetor) $(x_1, y_1)$ por meio de sua multiplicação por uma matriz de rotação.

Equação geral do segundo grau

É conhecido dos nossos estudos anteriores que uma equação do segundo grau em $x$ e em $y$ pode nos fornecer elipses, parábolas e hipérboles. Entretanto, o conjunto das seções cônicas possíveis de serem obtidas por equações do segundo grau é maior. Isso pode ser justificado por meio do seguinte raciocínio.

Imagine duas retas, $r$ e $s$, com suas respectivas equações cartesianas $ax+by+c=0$ e $a_1x+b_1y+c_1=0$. Vamos indicar o subconjunto do plano formado por estas duas retas pela notação $r \cup s$. Perceba que um dado ponto $P(x_0, y_0)$ pertence a este subconjunto se, e somente se este ponto satisfaz uma equação ou outra.

Isto implica que este ponto pertence a este conjunto se, e somente se, este satisfaz a equação oriunda do produto das equações de ambas as retas, ou seja, a equação

É fácil ver que esta equação é uma equação do segundo grau em $x$ e em $y$. Além disso, é notável que as retas podem ser coincidentes, com seu conjunto solução sendo uma reta, ou concorrentes,fornecendo um único ponto.

Concluímos que uma equação da forma

com $A \neq 0$ ou $C \neq 0$ é uma cônica e o número $\Delta = B^2 - 4AC$ é invariante por rotação e denominado discriminante. Se $\Delta < 0$, a cônica formada é uma elipse ou um ponto; se $\Delta = 0$, uma parábola, uma única reta ou um par de retas paralelas e, por fim, se $\Delta > 0$, uma hipérbole ou um par de retas concorrentes.

Como dito anteriormente, a rotação de eixos pode ser uma técnica especialmente útil para simplificação de equações. De fato, é possível provar que eliminaremos o termo $xy$ da equação se rotacionarmos os eixos em um ângulo de

com raciocínios semelhantes podendo ser utilizados para simplificar uma determinada equação dada.

Definição unificada das cônicas