Trabalho e Energia

As origens do trabalho

O que é trabalho? O conceito de trabalho na Física está intimamente ligado aos conceitos de energia e força, também. Para ilustrar a origem dessa curiosa grandeza, vamos imaginar uma situação simples: um bloquinho num plano inclinado.

Plano inclinado

Acima podemos ver um plano inclinado utilizado em universidades do século XVIII (Imagem sob CC-BY-SA, via Wikimedia Commons).

Vamos imaginar que no sopé deste plano inclinado temos um bloquinho que é lançado por uma mola. Desconsiderando o atrito e todas as outras forças que não sejam a força peso, o bloquinho avança com uma velocidade inicial $\overrightarrow{v_o}$ que diminui ao longo do tempo.

É possível ver que este corpo está em um movimento retilíneo uniformemente variado e, por isso, podemos utilizar as equações:

$ \begin{align*} x(t) &= x_0 + v_o \cdot t + \dfrac{at^2}{2} \\\\ v_f &= v_o + at \end{align*} $

Deduzindo a Equação de Torricceli pela substituição da segunda equação na primeira e rearranjando os termos, chegamos em duas expressões bastante úteis. A primeira é o que chamamos de constante do movimento, uma quantidade que não varia ao longo do tempo de execução do movimento, que pode ser útil na resolução de alguns problemas. Já a segunda, mais interessante para nosso objetivo, é uma relação entre a variação da velocidade e a variação do espaço.

$ \dfrac{1}{2}(\Delta v)^2 = a \Delta x $

Multiplicando por $m$ em ambos os lados, a massa do objeto, chegamos numa segunda relação.

$ \begin{align*} ma \Delta x &= \dfrac{1}{2}m(\Delta v)^2 \\\\ F \Delta x &= \dfrac{1}{2}m(\Delta v)^2 \\\\ &= \boxed{\dfrac{1}{2}mv_2^2} - \dfrac{1}{2}mv_1^2 \\\\ \end{align*} $

Uma grandeza relacionada diretamente com a força aplicada sobre o objeto e seu deslocamento está ligada com a variação de uma quantidade nova que depende tanto da massa quanto do módulo de sua velocidade. Essa grandeza chama-se trabalho de uma força.

De fato, essa quantidade própria do movimento do corpo que é variada pelo trabalho é chamada energia cinética $(K)$, podendo ser também escrita em função do momento: $\dfrac{p^2}{2m}$.

Perceba que, ao montar um gráfico $P \times x$, essa grandeza corresponde à área sob a curva. Isso será de especial motivação para o teorema a seguir.

Teorema Trabalho-Energia Cinética

O teorema trabalho-energia cinética declara que o trabalho realizado por uma força é a variação da energia cinética de um corpo, exatamente o que acabamos de vislumbrar, com um único diferencial: essa conclusão é válida para qualquer força, inclusive uma força variável, ao contrário do caso base que exploramos, com uma força constante no tempo.

Supondo o trabalho $W$ de uma força $F$ como a seguinte integral, podemos desenvolvê-la para encontrar o resultado esperado.

$ \begin{align} W &= \int_{x_1}^{x_2} F \ dx \\\\ &= \int_{x_1}^{x_2} m \dfrac{dv}{dt} \ dx \\\\ &= \int_{x_1}^{x_2} mv \dfrac{dv}{dx} \ dx \\\\ &= \int_{v_1}^{v_2} mv \ dv \\\\ &= \dfrac{1}{2}mv_2^2 -\dfrac{1}{2}mv_1^2 \end{align} $

Perceba que o passo $(2)$ foi possível por uma aplicação direta do princípio fundamental da dinâmica (2ª Lei de Newton) e a substituição da variável de integração (espaço para velocidade) foi indispensável.

Por fim, perceba que ao final chegamos numa expressão em que estamos integrando o momento ao longo da variação da velocidade. Esse fato levanta a denominação do Teorema como a "forma integral" da Segunda Lei de Newton.

Potência

Definimos a grandeza potência como a taxa da realização de trabalho ao longo do tempo de uma força. Como foi demonstrado pelo Teorema anterior, é possível também descrevê-la como a taxa de transferência energética de uma força.

Durante o ensino médio, entramos em contato com a chamada potência média, definida por:

$ P_{M} = \dfrac{\Delta W}{\Delta t} $

Entretanto, a chamada potência instantânea, ou simplesmente potência, é expressa como a derivada do trabalho em relação ao tempo. Pelas propriedades do Cálculo, podemos também expressar o trabalho como a integral da potência.

$ P = \dfrac{dW}{dt} \Longleftrightarrow W = \int P \ dt $

Energia Potencial e a Conservação da Energia

Uma motivação para o conceito de energia potencial vem de um dos passos que tomamos para a definição da energia cinética. Vamos revisitá-lo, mais precisamente, a constante de movimento.

$ \dfrac{1}{2}v_2^2 - ax_2 = \dfrac{1}{2}v_1^2 - ax_1 $

Ao multiplicarmos ambos os membros pela massa do corpo, $m$, chegamos na expressão:

$ \dfrac{1}{2}mv_2^2 - m \cdot ax_2 = \dfrac{1}{2}mv_1^2 - m \cdot ax_1 $

Perceba que os termos que dependem da velocidade são a nossa conhecida energia cinética, mas e os outros dois? Essa nova grandeza não depende da velocidade de um corpo, mas sim de sua posição.

Dessa forma, é possível reescrever essa equação em termos de suas funções $T(v)$ e $U(x)$. A essa soma, chamamos energia mecânica total do sistema, e à grandeza que depende da posição, energia potencial.

$ T(v_2) + U(x_2) = T(v_1) + U(x_1) $

Esse princípio, enunciado na equação acima, é chamado de conservação da energia, com os sistemas que o obedecem chamados sistemas conservativos. Vale mencionar que em hipótese alguma a energia é "destruída" se ela não for conservada, ela apenas se dissipa para fora do sistema estudado.

Dessa base também é possível definir o que chamamos de forças conservativas, isto é, forças cuja atuação depende apenas da posição de um corpo e nunca de sua velocidade. Para essas forças, é possível traçar a relação:

$ W = \int F \ dx= - \Delta U $

Por exemplo, sabendo que a força peso é escrita da forma $F=mg$, sua energia potencial associada (gravitacional) pode ser encontrada a partir de algumas operações. Vamos dizer que estamos comparando dois pontos, $x_1$ e $x_2$, a uma altura $x$ um do outro.

$ \begin{align*} \int_{x_1}^{x_2} F \ dx &= mg(x_2 - x_1) = -\Delta U \\\\ &= \Delta U = -mg(x_2 - x_1) \end{align*} $

Dessa forma, definindo $x_2 - x_1 = h$, nossa altura, conseguimos demonstrar a tão conhecida $U(h) = mgh$.

Retornando à distinção entre forças conservativas e não-conservativas (também chamadas de forças dissipativas), uma diferença notável entre as duas encerra-se no trabalho: o trabalho de uma força conservativa independe do caminho atravessado pelo móvel, mas apenas das suas posições iniciais e finais. O contrário é dito das dissipativas, em que a "trajetória", a "história" do móvel importa.

Como exemplos de forças conservativas, podemos citar, além da força peso, a força elástica e a força elétrica.

Gráficos de estabilidade

É possível representar um sistema físico a partir de um gráfico de sua energia potencial em função de sua posição, com tal representação sendo extremamente útil na análise de algumas situações, permitindo a extração de diversas informações.

Um exemplo inicial simples é o de um objeto em queda livre (ou lançamento vertical).

Gráfico retirado do livro OpenStax University Physics (CC-BY-NC-SA)

Gráfico retirado do livro OpenStax University Physics (CC-BY-NC-SA).

Perceba que o gráfico é uma linha reta de inclinação $mg$, com sua altura sendo sua energia potencial em uma dada posição e a "altura restante" até a reta assinalada sua energia cinética, com a soma dos dois comprimentos constante para todo $y \in [y_0, y_{max}]$.

A partir do gráfico é possível encontrar a altura máxima, por exemplo:

$ \begin{align*} U(y_{max}) &= E - K(y_{max}) \\\\ mg y_{max} &= E - \dfrac{1}{2}mv_f^2 \\\\ E &= mg y_{max} \\\\ \dfrac{E}{mg} &= y_{max} \end{align*} $

Essa mesma relação pode ser explorada para encontrar a velocidade inicial, $v_0$, necessária para alcançar essa altura máxima. Vale notar se $v_0$ é a velocidade necessária para alcançar a altura máxima, $-v_0$ é a velocidade de encontro com o solo.

$ \begin{align*} mgy_0 &= E - \dfrac{1}{2}mv_0^2 \\\\ E &= \dfrac{1}{2}mv_0^2 \\\\ v_0 &= \sqrt{\dfrac{2E}{m}} \end{align*} $

Um outro exemplo, um pouco mais complexo, que pode ser analisado é o chamado sistema massa-'mola' simples, sem atrito nem qualquer tipo de força dissipativa.

Sistema massa mola

Um sistema massa mola. Por Chetvorno, via Wikimedia Commons.

Esse sistema é interessante por nos introduzir pela primeira vez ao chamado poço de potencial. Observando seu gráfico de energia potencial em função da posição do objeto conectado à mola, é possível deduzir todas as informações do sistema anterior.

Gráfico retirado do livro OpenStax University Physics (CC-BY-NC-SA).

O "poço de potencial" mencionado é a concavidade do gráfico: um sistema massa-mola com uma energia potencial $E$ nunca irá poder ter uma oscilação maior do que $x_{max}$, com todas as posições possíveis oscilando nessa parábola.

Referências

  1. Playlist de Física 1 da USP formada por aulas do prof. Dr. Marcelo Martinelli (Acesse aqui).
  2. LING, S. J. et al. University physics. Houston, Texas: Openstax, Rice University, 2018. v. 1 (Acesse aqui).