Introdução à Teoria dos Erros

A Teoria dos Erros e Medidas e sua importância para a ciência

O experimento é a base das ciências naturais e, em especial, a atividade central de toda a Física. Toda teoria física, por mais bem elaborada que seja, somente pode ser considerada válida se os experimentos concordam com ela.

Se os experimentos não podem ser adequadamente justificados pela teoria, ela é inadequada e deve ser adaptada ou substituída completamente. Como exemplo para esta prática científica, podemos citar os sucessivos modelos atômicos propostos deste o século XIX: Dalton, Rutherford, Bohr, Schrödinger... todos eles buscaram explicar teoricamente o que o experimento mostrava e seus predecessores falhavam.

Entretanto, há algo inerente nos experimentos que precisa ser considerado para que estes mantenham sua utilidade: eles estão sujeitos a erros. Uma medida pode se tornar imprecisa por falha no instrumento, inexperiência do aplicador ou até mesmo por interferências externas fora do controle do cientista. Como então levar em conta estes ruídos no processo experimental?

A teoria dos erros e medidas surge com esta proposta.

Medindo grandezas físicas

Denominamos grandeza como toda propriedade mensurável de algo na realidade, seja o objeto considerado material ou matemático. Neste documento iremos tratar especialmente das grandezas físicas da realidade material.

Ao medirmos grandezas com algum instrumento, estaremos sempre em alguma das três situações a seguir.

Grandeza de valor exato

Ao mensuramos uma grandeza cujo valor é exato, todas as diferenças que obtivermos do valor conhecido são denominadas erros, sendo matematicamente definidos como

E = |V_\text{real} - V_\text{medido}|

Como exemplo podemos citar a soma dos ângulos internos de um triângulo. É conhecido que sua soma será 180 graus sempre, entretanto, ao medirmos, é possível registrar valores como $181.5°$ ou $179.6°$ — valores dotados de um erro, maior ou menor.

Grandeza com valor adotado como referência

Ao mensuramos uma grandeza cujo valor não é exato, mas sim definido, todas as diferenças entre as medições e este valor definido são chamadas desvios. Como exemplo podemos citar o módulo da aceleração da gravidade ao nível do mar, $9,81 \text{ m/s}^2$: é possível que, ao medirmos, obtenhamos valores como $9,7$, $9,9$ ou $10,2$. Estas medições estão afetadas por desvios.

Matematicamente, contabilizamos o desvio $d$ de uma medida por

d = |V_\text{medido} - V_\text{adotado}|

Nestes casos ainda pode ser expresso o chamado desvio relativo $(d_{R})$, que permite a avaliação mais precisa do êxito de uma experiência. Do desvio relativo ainda é possível derivar o chamado desvio percentual $(d_P)$.

\begin{align*} d_R &= \dfrac{d}{V_\text{adotado}} \\\\ d_P &= d_R \cdot 100 \end{align*}

Grandeza com valor desconhecido

Ao medirmos repetidamente uma grandeza de valor desconhecido, observamos que as leituras raramente coincidem entre si. Esse espalhamento nos resultados é inevitável e constitui a manifestação prática da incerteza da medição. Suas origens são três: fatores instrumentais (a própria resolução do aparelho), fatores humanos (julgamento e reação do operador) e fatores ambientais (temperatura, vibração, pressão atmosférica).

Algarismos significativos e o algarismo duvidoso

Toda medição produz dígitos que podem ser lidos com total segurança — os algarismos certos — e um último dígito, obtido por estimativa entre as menores divisões da escala, chamado algarismo duvidoso. O conjunto de algarismos certos mais o algarismo duvidoso forma os algarismos significativos da medida.

Assim, ao medir com uma régua milimetrada, que possui resolução de $1 \text{ mm}$, o operador lê os milímetros com certeza e estima décimos de milímetro — estes últimos são os algarismos duvidosos.

É importante mencionar ainda que limitamos os algarismos significativos ao intervalo, da esquerda para a direita, a partir do primeiro algarismo diferente de zero. Por exemplo, no número $0.000023$, os algarismos significativos são $2$ e $3$.

Exemplo: Uma experimento com uma régua milimetrada forneceu a leitura $12,34 \text{ cm}$. Os dígitos $1$, $2$ e $3$ estão certos, enquanto o $4$ é duvidoso. O resultado possui quatro algarismos significativos.

A diferenciação de algarismos duvidoso e certos permite ainda a prática de arrendondamento: caso um algarismo duvidoso seja menor ou igual a cinco, retira-se os algarismos posteriores. Caso seja maior que cinco, além de retirar os algarismos posteriores, soma-se um. Por exemplo, $23,4575432 \rightarrow 23,46$.

A motivação por trás do arrendondamento está em conservar apenas um algarismo duvidoso na medida, afinal, se não temos certeza de medição a partir de uma certa escala, não a teremos em escalas ainda menores e, portanto, não há utilidade em conservar mais que um algarismo duvidoso.

Repetição de medidas e a média aritmética

Para minimizar a influência dos fatores aleatórios, a grandeza é medida $n$ vezes nas mesmas condições experimentais. O melhor estimador do valor verdadeiro — mais provável — é a média aritmética das $n$ leituras:

\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i = \dfrac{x_1 + x_2 + ... x_n}{n}

A média é o valor mais provável para a grandeza, pois os erros aleatórios tendem a se cancelar mutuamente quando o número de medições é suficientemente grande.

Incerteza e desvio médio absoluto

A incerteza $\delta x$ quantifica o intervalo em torno da média dentro do qual se espera que o valor verdadeiro se encontre. Num tratamento introdutório, ela é estimada pelo desvio médio absoluto — a média dos afastamentos de cada medição em relação ao valor central:

\delta x = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|

A incerteza não é uma imperfeição a ser eliminada, mas uma informação intrínseca ao resultado. Ignorá-la equivale a omitir parte do que o experimento comunicou. Possui origem instrumental (limitações do próprio instrumento de medida), humana (erros humanos) e ambiental (condições ambientais que afetam o instrumento). Embora possa ser reduzida, é impossível eliminá-la de fato.

Notação do resultado experimental

O resultado de uma medição deve sempre ser expresso na forma:

x = \bar{x} \pm \delta x \text{ [unidade]}

A leitura correta dessa expressão é: "o valor da grandeza se encontra no intervalo $[\bar{x} - \delta x, \bar{x} + \delta x]{{CONTENT}}quot;. Por consistência, a incerteza deve ser arrendonda para um único algarismo significativo, e o valor central deve ser expresso com a mesma casa decimal que a incerteza.

Nem toda fonte de incerteza é reduzida pela repetição de medidas. Os erros sistemáticos — causados, por exemplo, por um instrumento descalibrado ou pela presença permanente de uma perturbação ambiental — deslocam todas as medições na mesma direção. Eles não se cancelam com a média e devem ser identificados e corrigidos por outros meios, como a calibração do instrumento com um padrão de referência. A repetição de medidas combate os erros aleatórios; a calibração combate os erros sistemáticos.

Dessa forma, enquanto os erros sistemáticos devem ser combatidos a todo custo (pois eles estão sob nosso controle), os erros aleatórios podem ser atenuados pela repetição de medidas, porém nunca completamente eliminados.

Propagação de incertezas

Algumas grandezas, como o perímetro ou a área de um quadrado, não podem ser mensuradas por instrumentos próprios para elas, sendo necessária a sua derivação a partir de grandezas mais simples. Tomando como exemplo o caso do perímetro, esta grandeza possui origem nos comprimentos dos lados da figura, enquanto a área pode ser obtida pela multiplicação do comprimento de seus lados.

Uma pergunta surge: como quantificar a incerteza dessas novas grandezas? Afinal, é razoável pensar que essas grandezas originais possuem incertezas em suas medições e, a medida que novas operações são feitas com estas grandezas, essas imprecisões vão se alastrando por nossos cálculos.

Pela teoria dos erros, conseguimos encontrar expressões para quantificar a chamada propagação de incertezas ao longo das medidas através de operações.

Incerteza da soma

Considerando como exemplo o perímetro, que é obtido através da soma de outras medições, como poderemos calcular a sua incerteza dado as incertezas das medições dos lados?

De forma mais ampla, como poderemos calcular a incerteza de uma grandeza derivada da soma de outras grandezas, que por sua vez possuem suas próprias incertezas de medição?

De forma geral, adotamos que "a incerteza da soma é a soma das incertezas". Isto é, de forma algébrica, consideramos que

\delta S = \delta A + \delta B + ... + \delta Z

Sendo $S$ uma grandeza que possui como origem as grandezas do conjunto ${A, ..., Z}$.

Multiplicação e potenciação

Ao tentarmos calcular a incerteza de grandezas produzidas por outras operações, como multiplicação ou potenciação, teremos que nos utilizar de conceitos e operações fundamentados no Cálculo III.

De forma geral, para calcular a incerteza relativa associada a uma grandeza $Y = K \cdot a^p \cdot b^q$, utilizamos a expressão:

\dfrac{\delta Y}{|Y|} = |p|\dfrac{\delta a}{|a|} + |q|\dfrac{\delta b}{|b|}

Ou seja, os expoentes tornam-se coeficientes das incertezas relativas, parcelas da soma da incerteza total. Como toda radiciação pode ser escrita como uma potenciação, além de que toda divisão pode ser escrita como uma multiplicação, essa expressão acaba por generalizar-se para essas operações.

Referências

IFAN HUGHES; HASE, T. P. A. Measurements and their uncertainties : a practical guide to modern error analysis. Oxford: New York, 2010.