A Reta

A reta real

Os números reais, representados pelo símbolo de seu conjunto $(\mathbb{R})$, e seus subconjuntos, os dos números racionais (e naturais, e inteiros, ...) e irracionais podem ser representados por pontos numa reta. Nesta reta, o ponto de origem $(\text{O})$, cuja posição é escolhida arbitrariamente, é geralmente associado ao número zero.

Por sua vez, são membros do conjunto dos números racionais $(\mathbb{Q})$ todo aquele que pode ser escrito por meio de uma razão $\dfrac{p}{q}$, com $p$ e $q$ sendo números inteiros e, especialmente, $q \neq 0$. Sinteticamente, por meio de notação matemática, é possível denotar o conjunto dos números racionais da seguinte maneira:

$ \mathbb{Q} = \{x: x = \dfrac{p}{q}, p, q \in \mathbb{Z} \text{ e } q \neq 0\} $

Uma construção geométrica interessante para os números racionais consiste em criar uma semirreta com origem no ponto $\text{O}$ da reta real de maneira que forme um ângulo agudo com esta. Ao traçar um segmento de reta que une o número $q$ a um determinado ponto $A$ na reta real, a reta paralela com origem em $p$ possui sua intersecção com a reta real no ponto $\dfrac{p}{q}$.

São membros do conjunto dos números irracionais, denotado pelo símbolo $\mathbb{I}$, todos aqueles que não podem ser representados por uma razão entre dois números inteiros, conforme a definição de $\mathbb{Q}$. Entretanto, estes também podem ser representados na reta real por construções geométricas, por exemplo.

Entre os números irracionais, a raíz quadrada de dois merece especial destaque pela sua simplicidade de construção e a prova de sua irracionalidade, que se originou na Grécia Antiga com o pensador pitagórico Hípaso, que foi afogado por seus pares após infringir a crença da seita que todo o Universo baseava-se em números racionais.

Para conduzir o raciocínio que levou Hípaso à morte, vamos supor primeiramente que a raíz é irracional, isto é, que

$ \sqrt{2} = \dfrac{p}{q} $

com $p$ e $q$ primos entre si.

Esta igualdade implica que $\dfrac{p^2}{q^2}=2 \Rightarrow 2q^2 = p^2$. Como $p^2$ é par, $p$ também é par. Escrevendo $p = 2k$, com $k \in \mathbb{Z}$:

$ (2k)^2 = 2q^2 \Rightarrow q^2 = 2k^2 $

Pelo mesmo argumento, concluímos que $q$ também é par. Ora, a partir de uma suposição que assumimos como verdadeira, chegamos numa contradição em nossas próprias suposições — a raiz quadrada de dois ser racional implica simultaneamente em números que são e não são primos entre si. Dessa forma, nossa suposição não pode ser verdade, mostrando que a raiz quadrada de dois é na verdade irracional.

Na reta real, dizemos que um número $a$ é menor que $b$ se este está à esquerda de $b$. Para indicar isto, utilizamos a notação $a < b$. Para indicar que $b$ é menor que $a$, escrevemos $b < a$. Similarmente, podemos escrever $a > b$ ou $b > a$. Se um número for maior (ou menor) ou o próprio número comparado, podemos escrever $a \ge b$ ou $a \le b$.

Ainda há duas afirmações sustentadas por algumas proposições: entre dois números reais existem infinitos racionais e irracionais; há um número racional arbitrariamente próximo de um irracional.

É visível que a reta real não possui "buracos" — todos os pontos são relacionados a um número real.

Referências

  1. LIMA, G.; SILVA. Geometria analitica. Rio de Janeiro. 2015.