Definição

Podemos definir a “quantidade de movimento” intuitivamente como o "quanto ele quer continuar" se movendo. Esse conceito está muito ligado com a energia cinética.

É importante frisar que a quantidade de movimento (também chamada de momento) é uma grandeza abstrata, assim como energia, por isso, pode ser mais difícil de visualizá-la do que uma força, por exemplo.

Podemos calcular o momento linear de um objeto por meio da fórmula

Com $Q$ sendo o momento, $m$ a massa do corpo e $v$ sua velocidade.

Além disso, é fácil ver que a variação do momento pode ser escrita como

E, no caso específico em que a massa é constante, temos que

Momento e força

Por análise dimensional, podemos deduzir que a unidade do momento é de $\text{kg} \cdot \text{m}/\text{s}$.

Essa análise é importante. Perceba a unidade do momento, e a unidade da força. Se dividirmos a unidade do momento por tempo novamente, teremos um $\text N$!

Logo, a partir disso, podemos concluir que

Que é a escrita original da definição de força, feita por Newton em seu livro!

A magnitude de uma força é calculada pela variação do momento no tempo.

Impulso

O impulso é uma grandeza vetorial que mede a variação do momento de algum objeto, relacionando nesse processo a força aplicada, o tempo percorrido e a quantidade de movimento.

Essa grandeza é calculada pela seguinte expressão:

Nos utilizando da análise dimensional, podemos ver que o impulso é medido em Newton-segundos: um impulso com um módulo de 1 Newton-segundo equivale a uma força de 1 newton aplicada durante 1 segundo.

Teorema do Impulso

O Teorema do Impulso relaciona o impulso com a diferença de momento de um objeto, por meio da seguinte expressão abaixo.

Podemos encontrar essa expressão apenas multiplicando tambos os lados da definição de força apresentada acima por $\Delta t$.

Colisões

Colisões acontecem quando corpos se chocam, podendo ser de três tipos: perfeitamente elásticas, parcialmente elásticas ou perfeitamente inelásticas.

Colisões perfeitamente elásticas

Nessas colisões, toda a energia cinética, $K$, do sistema é conservada, ou seja, $\Delta K = 0$.

Como toda a energia é conservada, podemos nos utilizar dessa propriedade para encontrar as velocidades de cada corpo após a colisão $(v_n)$, dadas as velocidades iniciais $(u_n)$ e suas massas $(m_n)$, pelas equações a seguir.

Acima: exemplos de colisões perfeitamente elásticas. GIFs retirados daqui.

Dedução das expressões

Pela conservação de momento, encontramos nossa equação $(1)$:

Pela conservação de energia cinética, encontramos nossa equação $(2)$:

Dividir $(2)$ por $(1)$ nos fornece:

Uma primeira informação interessante. A velocidade de aproximação é igual em módulo à velocidade de afastamento entre os dois objetos.

Podemos encontrar as fórmulas buscadas por meio da resolução de um sistema linear composto pelas equações $(1)$, oriunda da conservação do momento, e a relação de velocidade acima, que iremos chamar de $(3)$, oriunda da conservação da energia cinética.

Podemos resolver esse sistema pelo método da substituição. Escrevendo $v_1 = u_2 + v_2 - u_1$ e substituindo na equação superior, temos:

Aplicando o método da substituição novamente, desta vez escrevendo $v_2 = u_1 + v_1 - u_2$, encontramos a expressão para $v_1$:

Colisões inelásticas

Nas colisões inelásticas, a energia cinética do sistema não é completamente conservada, sendo convertida em outras formas como som e calor, por exemplo.

Quando uma colisão é perfeitamente inelástica, o máximo valor possível de energia cinética é perdido, “colando” os dois corpos num só, com ambos possuindo a mesma velocidade final.

Acima: exemplo de uma colisão perfeitamente inelástica. GIF retirado daqui.

Podemos encontrar as velocidade final dos corpos por meio da expressão abaixo:

Para deduzir essa expressão, trabalhe com a conservação do momento (e o fato de que os corpos estão como um corpo só depois da colisão) e rearrange a expressão!

Dedução da expressão

Pela conservação de momento, podemos escrever a igualdade:

Substituindo $v_1$ na expressão de energia final do corpo, $K_F$, obtemos:

Com a energia cinética em função de $v_2$, podemos derivar em relação a essa variável.

Para encontrar o valor de $v_2$ que fornece o ponto mínimo da função quadrática, igualamos a derivada a zero.

O mesmo procedimento pode ser realizado substituindo $v_2$ a partir da conservação de momento na equação de energia cinética, derivando a encontrando o valor correspondente de $v_1$ para o mínimo da expressão.

Após isso, conclui-se que $v_1 = v_2 = \dfrac{P}{m_1+m_2} = \dfrac{m_1u_1 + m_2u_2}{m_1+m_2}$.

Coeficiente de restituição

Definido como sendo a razão entre as velocidades após a colisão e antes da colisão, o coeficiente de restituição ($e$) é expresso pela equação abaixo:

Por meio do coeficiente de restituição, é possível montar uma expressão geral que abarca todos os cenários de colisões unidimensionais:

Quando $e=1$, temos uma colisão perfeitamente elástica; caso $e=0$, temos uma colisão perfeitamente inelástica.